3D数学基础：图形与游戏开发

在3D图形与游戏开发领域，3D数学是不可或缺的基础，它构成了计算机视觉、图形学和游戏引擎的核心。本主题将深入探讨3D数学的基本概念和应用，为初学者和有经验的开发者提供一个全面的理解框架。
我们要了解3D空间中的基本元素：点、向量和坐标系。点表示空间中的位置，通常用(x, y, z)坐标表示。向量则代表方向和大小，同样由(x, y, z)分量构成，但不固定在任何特定位置。坐标系则是定义空间中点和向量的参照系，通常我们使用右手笛卡尔坐标系。
接下来，我们要涉及线性代数，这是3D数学的基础。矩阵和向量运算在这里扮演着重要角色。矩阵可以用来表示变换，如平移、旋转和缩放。例如，4x4的齐次矩阵可以一次性完成这些变换，使得3D物体在空间中移动和变形。向量的加法、减法、标量乘法和点乘（内积）是基本运算，而叉乘（外积）则用于生成与两个向量垂直的新向量，常用于计算法线。
在3D图形中，透视投影是将3D世界映射到2D屏幕的关键。这涉及到视锥体和投影矩阵的概念。视锥体定义了观察者可以看到的空间区域，而投影矩阵则将3D对象按透视关系压缩到2D平面上。
欧几里得几何中的平面和直线方程在3D中也有延伸。平面可以用法线向量和距离来描述，直线则可以通过两点或一个点和一个方向向量来定义。碰撞检测和交点计算是游戏开发中的常见问题，理解这些几何原理有助于解决这些问题。
向量的长度（模）和单位化（归一化）在3D图形中也非常重要。例如，单位向量用于表示方向，而长度可用于计算距离和缩放。此外，向量的夹角和角度计算（如余弦相似度）对于光照、动画和物理模拟都是必要的。
在游戏开发中，坐标变换是常见的操作。例如，物体的局部坐标系需要转换到全局坐标系，或者反之。这涉及到父节点和子节点之间的相对变换，通常通过组合多个变换矩阵实现。
图形学中的表面表示方法，如多边形网格、顶点着色和纹理映射，都需要3D数学的支持。例如，光照模型使用向量计算来模拟光源对物体的影响，而纹理映射则依赖于坐标变换将2D图像贴合到3D表面上。
3D数学在图形与游戏开发中起着至关重要的作用。从基本的几何概念到复杂的变换矩阵，掌握这些知识是实现逼真3D环境和交互式体验的基础。无论是创建虚拟现实、开发游戏还是进行科学可视化，深入理解和应用3D数学都是开发者必备的技能。