动态规划基础：常用状态转移方程详解
在解决复杂问题时，动态规划是一种强大的工具。将详细探讨并整理常用的状态转移方程，帮助读者更好地理解和应用动态规划算法。
首先，需要理解什么是状态和转移方程。在动态规划中，我们通常会定义一个或多个变量来表示问题的不同阶段的状态。这些状态变量可以是整数、字符串或其他数据类型，具体取决于问题本身的特点。而状态转移方程则是指定如何从一个已知状态转移到下一个状态的规则。通过迭代地应用这些规则，我们可以逐步推导出整个问题的解。
将介绍几种常见的状态转移方程：
1. 斐波那契数列：F(n) = F(n-1) + F(n-2), n >= 2, F(0)=0, F(1)=1
2. 最长递增子序列：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度，转移方程为dp[i] = max(dp[j]+1 for j in range(i)) if nums[j] < nums dp[i]=1>3. 背包问题：对于每个物品，我们可以定义两个状态变量：opt[i][j]表示在前i个物品中选择若干个放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，转移方程为opt[i][j] = max(opt[i-1][j], opt[i-1][j-w[i]]+v[i])。
4. 最长公共子序列：dp[i][j]表示字符串s1和s2的最长公共子序列长度，转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 if s1[i-1]==s2[j-1], dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) otherwise。
5. 最短路径：Dijkstra算法中，对于每个节点v，我们可以定义一个状态变量dist[v]表示从起点到节点v的最短距离，转移方程为dist[u]+w(u,v) < dist dist[v]=dist[u]+w(u,v),>通过以上介绍，读者可以更好地理解和应用动态规划算法中的常用状态转移方程。
首先，需要理解什么是状态和转移方程。在动态规划中，我们通常会定义一个或多个变量来表示问题的不同阶段的状态。这些状态变量可以是整数、字符串或其他数据类型，具体取决于问题本身的特点。而状态转移方程则是指定如何从一个已知状态转移到下一个状态的规则。通过迭代地应用这些规则，我们可以逐步推导出整个问题的解。
将介绍几种常见的状态转移方程：
1. 斐波那契数列：F(n) = F(n-1) + F(n-2), n >= 2, F(0)=0, F(1)=1
2. 最长递增子序列：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度，转移方程为dp[i] = max(dp[j]+1 for j in range(i)) if nums[j] < nums dp[i]=1>3. 背包问题：对于每个物品，我们可以定义两个状态变量：opt[i][j]表示在前i个物品中选择若干个放入容量为j的背包中所能获得的最大价值，转移方程为opt[i][j] = max(opt[i-1][j], opt[i-1][j-w[i]]+v[i])。
4. 最长公共子序列：dp[i][j]表示字符串s1和s2的最长公共子序列长度，转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 if s1[i-1]==s2[j-1], dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) otherwise。
5. 最短路径：Dijkstra算法中，对于每个节点v，我们可以定义一个状态变量dist[v]表示从起点到节点v的最短距离，转移方程为dist[u]+w(u,v) < dist dist[v]=dist[u]+w(u,v),>通过以上介绍，读者可以更好地理解和应用动态规划算法中的常用状态转移方程。
文件大小：19.57KB
评论区