PN三角形算法-基于matlab圆周率的几种近似计算方法及实现

此细分表面更加光滑，细分表面是C1连续的。 1.4 Loop算法[4]是一种实现简单的逼近细分算法。细分过程包括生成边点和移动原有顶点2步，最终生成切平面连续的光滑表面。若vr表示Vr的顶点，vi r+1表示Vr+1的边点，n为vr的原子阶数，新边点以及移动后的顶点位置计算如下： 1 1 13 3 ( 1, 2, , ) 8 r r r i i v v v i n+ − + + = = ⋯ (4) 1 1( ) r r nn v v vv n n α α + += + (5)其中， (1 ( )) ( ) n a n α − = , 25 (3 2cos(2 / )) ( ) 8 64 n a n + π = − 。式(4)和式(5)分别对应于边细分掩膜和顶点细分掩膜，如图3(a)和图3(d)所示。图3顶点和边细分掩膜在一般情况下难以得到极限表面的闭式(closed form)公式，然而细分表面的属性例如顶点的极限位置以及切平面是可计算的。极限点(v∞)表示为初始顶点位置的仿射组合： 0 0 0 1 2 1 1 1 2 1 n n n f v v f f f ∞ + + + = + + + (6)其中，(f1, f2,⋯, fn+1)表示局部细分矩阵Sn的主本征向量。考虑极限点处的光滑性，其切向量可通过利用Sn的对应于重数为2的次最大本征值的2个本征向量计算得到： 0 0 0 1 1 1 2 2 0 0 0 2 2 1 3 2 1 n n n c v = + + + u u (7)其中， cos(2 / )ic i n= π来张成细分表面的切平面。 1.5分段光滑表面重构算法分段光滑表面重构(piecewise smooth surface recons- truction)算法[5]是在Loop算法的基础上，提出明显边(sharp edge)的概念以及对其进行特殊处理，产生了尖锐特征，包括折痕(crease)、角(corner)和镖(dart)。新的边点和移动后顶点的位置依据顶点和边细分掩膜进行计算，掩膜如图3所示。其中，粗线表示明显边。该算法由3个阶段组成：(1)判断表面的拓扑结构；(2)进行网格优化，提高精确性和简明性；(3)分段光滑优化，得到分段光滑表面。网格优化问题可看作能量函数最小化的问题。若K表示点线面的连通性，它决定网格的拓扑结构，V表示一系列顶点位置，用于定义网格的形状，阶段(2)的能量函数为( , ) ( ) ( , )dist rep springE K V E K V= + + (8)其中，Edist表示数据点到网格的平方距离；Erep与顶点数量呈比例，Espring用于控制网格的光滑程度。若L表示明显边集合，阶段(3)的能量函数定义为( , , ) ( , , )dist rep sharpE K L V c m c e= + + (9)其中，crepm表示顶点数目为m的罚项；csharpe表示明显边数目为e的罚项。 1.6 Sqrt3算法[6]不同于二价(dyadic)细分，对给定初始网格中的每一个三角形单元插入一个新的顶点，将每个三角形分成3个小三角形。在向三角形△(pi,pj,pk)插入新顶点q时1 ( ) 3 i j k q P P P= + + (10)若p表示一个原子阶为n的顶点，p0, p1,..., pn-1为相邻顶点，细分网格顶点为： 1 0 1 ( ) (1 ) n n n i i S P P P n α α − = = − + ∑ (11)其中， 4 2cos(2 ) 9n n α − π = 。三角形单元数量增加缓慢，而且不存在二价细分过程中的临时三角扇形，Sqrt3算法适用于自适应细分。当来自不同细分层次的三角形共享一个顶点时，其位置难以确定。Sqrt3算法通过执行多步光滑规则来得到任意细分层次的顶点位置。多步规则是式(11)的一般化形式，允许对细分矩阵S的任意次幂进行直接估计。通过对细分矩阵S进行特征分析可得1 0 1 ( ) (1 ( )) ( ) n m n n i i S p m p n β β − = = − + ∑ (12)其中， 2 3 3 3( ) 1 3 m n n n m α α α β α ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠= + 。若已知顶点的初始位置为p以及其在极限表面上的位置( ) ( )p S p∞ ∞= ，则式(12)可写为( ) ( ) (1 ( ))m n nS p m pγ γ ∞= + − (13)其中， 2( ) 3 m n nmγ α ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，从而得到任意细分层次的顶点位置。边界细分是每隔一步进行的，避免了尖锐三角形的产生。 1.7 PN三角形算法[7]利用一块3次Bezier补片(patch)来取代一个平面三角形，以及用2次法线变化来替代Gouraud明暗处理法，这种替换只需基于给定平面三角形的3个顶点及相应的三条法线。这种补片称为PN三角形，可被剖分为用户指定数量的平面三角形。PN三角形与平面三角形在3个顶点处进行位置和法线信息匹配，见图4。